Forme exponentielle - Corrigé

Énoncé

Soit \(z_1=1+i\) et \(z_2=i\text e^{\frac{i\pi}{6}}\) . Écrire \(z_1\) et \(z_2\) sous forme exponentielle.

Solution

On a : \(\left\vert z_1 \right\vert= \sqrt{ 1^2+1^2}=\sqrt{2}\) .
On a alors : \(\begin{align*}z_1= \sqrt{2}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}i\right)=\sqrt{2}\left(\cos\frac{\pi}{4} +i \sin\frac{\pi}{4}\right)=\sqrt{2}\text e^{\frac{i\pi}{4}}\end{align*}\)

Attention, ici \(z_2\) n'est pas écrit sous forme algébrique. On peut d'abord le mettre sous forme algébrique, puis procéder selon la méthode habituelle. On peut aussi aller « plus vite  » .

On a : \(\left\vert z_2 \right\vert= \left\vert i\text e^{\frac{i\pi}{6}} \right\vert= \left\vert i \right\vert \times \left\vert \text e^{\frac{i\pi}{6}} \right\vert= 1 \times 1=1\) .
​​​​​​​On a alors : \(\begin{align*}z_2=i\text e^{\frac{i\pi}{6}}=\text e^{i\frac{\pi}{2}} \times \text e^{\frac{i\pi}{6}}=\text e^{i\left( \frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{6}\right)}=\text e^{\frac{2i\pi}{3}}.\end{align*}\)